Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，直線AB：y=﹣x+b交y軸于點A（0，4），交x軸于點B．

（1）求直線AB的表達式和點B的坐標；

（2）直線l垂直平分OB交AB于點D，交x軸于點E，點P是直線l上一動點，且在點D的上方，設點P的縱坐標為n．

①用含n的代數式表示△ABP的面積；

②當S△ABP=8時，求點P的坐標；

③在②的條件下，以PB為斜邊在第一象限作等腰直角△PBC，求點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）AB:y=-x+4，B(4，0)；（2）①S△ABP=2n-4，②P(2，6)，③C(6，4).

【解析】試題分析：

（1）把點A（0，4）代入y=﹣x+b解得b的值，即可得到一次函數的解析式，由解析式即可求得點B的坐標；

（2）①由（1）中所求點B的坐標為（4，0）結合題意可知，直線PE為： ，由此可求得點D的坐標，從而可用含“n”的代數式表達出PD的長，由S△ABP=PD·OB即可用含“n”表達的面積；

②將S△ABP=8代入①中所求的表達式中，解方程即可求得“n”的值，從而可得此時點P的坐標；

③如下圖，設點C1和C2是符合題意的點C，則由題意易得：四邊形BC1PC2是正方形，過點C1作C1M⊥x軸于點M，過點P作PN存在MC1于點N，則四邊形PEMN是矩形，△C1MB≌△PNC1；設BM= ，則C1M=MN-NC1= ；在Rt△PBE中，由勾股定理可求得：PB=；再在Rt△BMC1中，由BM2+C1M2=BC12，建立關于“”分方程，解方程求得“”的值，即可求得點C1的坐標；同理可求得點C2的坐標；最后結合點C在第一象限這一條件即可得到點C的坐標.

試題解析：

（1）∵直線AB：y=﹣x+b交y軸于點A（0，4），

∴b=4，

∴直線AB的表達式為：y=﹣x+4.

∵在y=﹣x+4中，當y=0時，x=4，

∴直線AB與x軸的交點B的坐標為（4，0）；

（2）①∵點B的坐標為（4，0），

∴OB=4，

∵直線l垂直平分OB交AB于點D，交x軸于點E，

∴點D的橫坐標為2，

∵在y=-x+4中，當x=2時，y=-2+4=2，

∴點D的坐標為（2，2）.

∵P是直線l上一動點，且在點D的上方，點P的縱坐標為n，

∴PD=n-2，

∴S△ABP=PD·OB=；

②當S△ABP=8時，由解得： ，

∴此時點P的坐標為（2，6）；

③如圖，設點C1和C2是符合題意的點C，則由題意易得：四邊形BC1PC2是正方形，過點C1作C1M⊥x軸于點M，過點P作PN存在MC1于點N，則四邊形PEMN是矩形，△C1MB≌△PNC1，

∴MN=PE=6，NC1=BM，PN=C1M=BM+BE，

設BM= ，則C1M=MN-NC1= .

∵在Rt△PBE中，PE=6，BE=OB=2，

∴PB=，

又∵PB是等腰Rt△PC1B的斜邊，

∴BC1=.

∵在Rt△BMC1中，BM2+C1M2=BC12，

∴，解得： ，

∵當時，PN=C1M=6-4=2<BM+BE，

∴只能取2，

∴BM=2，C1M=6-2=4，

∴OM=OB+BM=4+2=6，

∴點C1的坐標為（6，4）；

同理可求得點C2的坐標為（0，2）；

又∵點C在第一象限，

∴點C的坐標為（6，4）.