Question

14．直線y=kx+b（k≠0）與拋物線y=ax²（a≠0）的兩個交點的橫坐標分別是x₁和x₂，且直線與x軸交點的橫坐標是x₃，求$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{3}}$的值．

Answer 1

分析 由題意x₃=-$\frac{b}{k}$，聯立拋物線y=ax²（a＞0）與直線y=kx+b得ax²-kx-b=0推出x₁+x₂=$\frac{k}{a}$，x₁x₂=-$\frac{b}{a}$，推出 $\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{k}{b}$=$\frac{1}{{x}_{3}}$，由此即可得出結論．

解答 解：由題意x₃=-$\frac{b}{k}$，聯立拋物線y=ax²（a＞0）與直線y=kx+b得ax²-kx-b=0，
∴x₁+x₂=$\frac{k}{a}$，x₁x₂=-$\frac{b}{a}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=-$\frac{k}{b}$=$\frac{1}{{x}_{3}}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{3}}$=0．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點、一次函數、一元二次方程的根與系數關系等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，體現了數形結合的數學思想．