Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中的點P（x，y）（x≠0），將它的縱坐標y與橫坐標x的比稱為點P的“湘一比”，記為kp，如點P（﹣3，6），則kp==﹣2．

（1）若P（a，2）在直線y=x﹣2上，求點P的“湘一比”kp及直線OP與x軸夾角的正切值；

（2）已知點Q（m，n）的“湘一比”kQ為，且Q在y=（x＞0）上，⊙Q的半徑為1，若點M在⊙Q上，求M的“湘一比”kM的取值范圍；

（3）設m、n為正整數，且m≠2，對一切實數t，如果直線y=mtx+3mt與二次函數y=x2+3x交于A（x1，y1），B（x2，y2），且|x1﹣x2|≥|2t+n|，求點N（m，n）的“湘一比”kN的值．

Answer 1

【答案】（1）kp=，直線OP與x軸夾角的正切值是；（2）0≤kM≤；（3）kN=或．

【解析】

（1）根據一次函數圖象上點的坐標特征求出a的值，再根據 “湘一比”的定義求出kp，然后作出圖形，利用正切的定義求直線OP與x軸夾角的正切值；

（2）先確定出點Q的坐標，進而判斷出直線OM和⊙Q相切時是分界點，分別求出相切時kM的最大值和最小值，即可得出結論；

（3）聯立解析式，求出x1＝3，x2＝mt，進而建立不等式組，得出m＞2且（mn6）2≤0，進而確定出m，n的值，即可得出結論．

解：（1）∵P（a，2）在直線y=x﹣2上，

∴2=a﹣2，

∴a=4，

∴kp==，

如圖，過點P作PF⊥x軸于F，

∵P（4，2），

∴PF=2，OF=4，

∴此時直線OP與x軸夾角的正切值為：；

（2）由題意知，kQ==，

∴n=m，

∴Q（m，m），

∵Q在y=（x＞0）上，

∴，

∴或m=﹣（舍去），

∴，

根據點M的“湘一比”知，直線OM和⊙Q相切時，一個是kM的最大值，一個是kM的最小值，

∵，⊙Q的半徑為1，

∴⊙Q與x軸相切，

如圖，切點為M1（，0），故此時kM最小，即kM=0；

而直線OM2是⊙Q的另一條切線，此時kM最大，

∵，

∴，

∵OM1，OM2分別為⊙Q的兩條切線，

∴OM1=OM2=，，

∴，

過點M2作M2E⊥x軸于點E，則OE＝，，

∴當點M2坐標為（，）時，kM最大，此時kM=，

∴0≤kM≤；

（3）聯立，

∴x2+（3﹣mt）x﹣3mt=0，即（x+3）（x-mt）=0，

∴x1=﹣3，x2=mt，

∵|x1﹣x2|≥|2t+n|，

∴（﹣3﹣mt）2≥（2t+n）2，整理得：，

由題意知，對于一切實數t不等式恒成立，∴，

∵m為正整數，

∴m＞2且（mn﹣6）2≤0，

∵（mn﹣6）2≥0，

∴mn=6，

∵m，n為正整數，

∴m=3，n=2或m=6，n=1，

∴kN=或．