Question

已知：如圖，⊙O₁和⊙O₂外切于點A，直線BD切⊙O₁于點B，交⊙O₂于點C、D，直線DA交⊙O₁于點E．
（1）求證：∠BAC=∠ABC+∠D；
（2）求證：AB²=AC•AE．

Answer 1

證明：（1）過A點作⊙O₁和⊙O₂的公切線AM，（1分）
則∠MAC=∠D，
∵CB是⊙O₁的切線，
∴∠ABC=∠BAM，
∴∠BAC=∠BAM+∠MAC=∠ABC+∠D；（4分）

（2）連接BE，（5分）
則∠E=∠ABC，
又∵∠EAB=∠ABD+∠D=∠BAC，
∴△ABE∽△ACB，
∴

AE

AB

=

AB

AC

，
即AB²=AC•AE． （8分）