Question

【題目】已知拋物線l1：y＝x2+c，當其函數值y＝1時，只有一個自變量x的值與其對應

（1）求c的值；

（2）將拋物線l1經過平移得到拋物線l2：y＝（x﹣p）2﹣1．

①若拋物線l2與x軸交于A，B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C，記△ABC的外心為P，當﹣1≤p≤時，求點P的縱坐標的取值范圍；

②當0≤x≤2時，對于拋物線l1上任意點E，拋物線l2上總存在點F，使得點E、F縱坐標相等，求p的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）c＝1；（2）①；②和

【解析】

只有一個x與其對應的函數值即頂點的值，進而求出c．
①用p表示A、B、C的坐標，由于外心是三角形三邊垂直平分線的交點，故點P在拋物線的對稱軸上，用p表示BC中點D，即直線PD垂直平分求出直線BC解析式的，利用兩直線垂直時，，求出直線PD解析式的并求出解析式，把代入即用p表示出P的縱坐標．再由計算點P縱坐標的范圍．

②先求出時，對于拋物線對應的函數值范圍根據題意，即的每一個函數值，都能在拋物線上有對應的函數值，故拋物線的函數值范圍應比拋物線的大，即最小值小于等于1，最大值大于等于對拋物線的對稱軸進行分類討論，不同情況下在時的最大值最小值取值不相同，每種情況里根據“最小值小于等于1，最大值大于等于2”列出不等式組，即求出p的范圍．

解：當函數值時，只有一個自變量x的值與其對應，
拋物線的頂點縱坐標為1，
．
①當時，解得：，，
，，
當時，，
，
中點為，
設直線BC解析式為：，
解得：，
點P為的外心，
點P在拋物線對稱軸上，直線PD垂直平分BC，
設直線PD解析式為：，
，即，
把D代入得：，
解得：，
直線PD解析式為：，
當時，，
，
，
，
點P的縱坐標的取值范圍是；
②對于拋物線：，當時，，
拋物線上總存在點F，使得F縱坐標與上任意點E的縱坐標相等，
拋物線在時，y的取值范圍比的大，即最小值值，最大值，
若，則拋物線在時，y隨x的增大而增大，
時，最小值；時，最大值，
，解得：；
若，則時y最小，時y最大，
，
解得：或，不成立；
若，則時y最小，時y最大，
，
解得：或，不成立；
若，則拋物線在時，y隨x的增大而減小，
時y最大，時y最小，
，解得：；
綜上所述，p的取值范圍為：和.