Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為原點，邊長為2的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，現將正方形OABC繞點O順時針旋轉．

（1）如圖①，當點A的對應的A′落在直線y=x上時，點A′的對應坐標為________；點B的對應點B′的坐標為_________；

（2）旋轉過程中，AB邊交直線y=x于點M，BC邊交x軸于點N，當A點第一次落在直線y=x上時，停止旋轉．

①如圖2，在正方形OABC旋轉過程中，線段AM，MN，NC三者滿足什么樣的數量關系？請說明理由；

②當AC∥MN時，求△MBN內切圓的半徑（直接寫出結果即可）

Answer 1

【答案】（1），；（2）①AM+CN=MN,理由見解析；②．

【解析】

（1）如圖1中，作A′H⊥OB′于H．易知△OA′H是等腰直角三角形，點B′在x軸上，由此即可解決問題；

（2）①結論：AM+CN=MN；延長BA交y軸于E點，由△OAE≌△OCN（ASA），推出△OME≌△OMN（SAS），可得MN=ME=AM+AE，推出MN=AM+CN；

②利用①中結論，求出BM、BN、MN，根據△BMN的內切圓半徑計算即可.

解：（1）如圖1中，作A′H⊥OB′于H．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴OA=OC=BC=AB=2，∠BOC=45°=45，，

∵OA′=2，

∴，

∴，

∵旋轉角為45°，

∴B′在x軸上，

∴，

故答案為，；

（2）①結論：AM+CN=MN；

理由：延長BA交y軸于E點，

則∠AOE=45°﹣∠AOM，∠CON=90°﹣45°﹣∠AOM=45°﹣∠AOM，

∴∠AOE=∠CON，

又∵OA=OC，∠OAE=180°﹣90°=90°=∠OCN，

在△OAE和△OCN中，

，

∴△OAE≌△OCN（ASA），

∴OE=ON，AE=CN，

在△OME和△OMN中

，

∴△OME≌△OMN（SAS）．

∴MN=ME=AM+AE．

∴MN=AM+CN，

②∵MN∥AC，

∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°，

∴∠BMN=∠BNM，

∴BM=BN，∵BA=BC，

∴AM=NC，

設AM=NC=a，則MN=2a，

在Rt△BMN中，（2a）2=（2﹣a）2+（2﹣a）2，

解得或（舍棄），

∴，，

∴△BMN的內切圓半徑．