Question

【題目】如圖(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是過A的一條直線, 且B、C在A、E的異側, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E

（1）試說明: BD=DE+CE.

（2）若直線AE繞A點旋轉到圖(2)位置時(BD<CE), 其余條件不變, 問BD與DE、CE的關系如何? 為什么？

（3）若直線AE繞A點旋轉到圖(3)位置時(BD>CE), 其余條件不變, 問BD與DE、CE的關系如何? 請 直接寫出結果, 不需說明.

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3） BD=DE-EC.

【解析】

（1）證明△ABD≌△CAE，即可證得BD=AE，AD=CE，而AE=AD+DE=CE+DE，即可證得；

（2）證明△ABD≌△CAE，即可證得BD=AE，AD=CE，而AE= DE- AD= DE- CE，即可證得；

（3）證明△ABD≌△CAE，即可證得BD=AE，AD=CE，而AE= DE- AD= DE- CE，即可證得.

（1）證明：∵∠BAD+∠DAC=90

∠ECA+∠CAD=90

∴∠BAD=∠ACE

又∵∠ADB=∠AEC=90，AB=AC

∴⊿BAD≌⊿ACE

∴BD=AE，AD=CE

∴BD=AD+DE=CE+DE

（2）∵∠DAB+∠EAC=90

∠DBA+∠DAB=90

∴∠DBA=∠AEC

又∵AB=AC，∠BDA=∠AEC=90

∴⊿BDA≌⊿AEC

∴DB=AE，DA=EC,

∵AE= DE- AD，

∴BD=DE-EC

（3）∵∠DAB+∠EAC=90，∠DBA+∠DAB=90

∴∠DBA=∠AEC

又∵AB=AC，∠BDA=∠AEC=90

∴⊿BDA≌⊿AEC

∴DB=AE，DA=EC

∵AE= DE- AD，

∴BD=DE-EC.