Question

【題目】如圖，四邊形是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，將邊折疊，使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處．已知折疊，且．

（1）判斷與是否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）求直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）是否存在過(guò)點(diǎn)的直線，使直線、直線與軸所圍成的三角形和直線、直線與軸所圍成的三角形相似？如果存在，請(qǐng)直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）與相似．

理由如下：

由折疊知，，

，

又，

．

（2），設(shè)，

則．

由勾股定理得．

．

由（1），得，

，

．

在中，，

，解得．

，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)直線的解析式為，

解得

，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（3）滿足條件的直線有2條：，

．

如圖2：準(zhǔn)確畫出兩條直線．

【解析】

（1）由折疊知，，根據(jù)同角的余角相等可得，再有

即可得到與相似；

（2）），設(shè)，則，由勾股定理得，

，由（1），根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例可得，，在中根據(jù)勾股定義即可求出，從而得到點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法即可得到直線的解析式，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)。

（3）存在，應(yīng)該有兩條如圖：

①直線BF，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知CE必垂直平分BD，那么∠DGP=∠CGF=90°，而∠CFG=∠DPG（都是∠OCP的余角），由此可得出兩三角形相似，那么可根據(jù)B、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出此直線的解析式．

②直線DN，由于∠FCO=∠NDO，那么可根據(jù)∠OCE即∠BEC的正切值，求出∠NDO的正切值，然后用OD的長(zhǎng)求出ON的值，即可求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)N、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線DN的解析式．