Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+2x﹣（a≠0）與y軸交于點A，與x軸的一個交點為B．

（1）①請直接寫出點A的坐標　 　；

②當拋物線的對稱軸為直線x＝﹣4時，請直接寫出a＝　 　；

（2）若點B為（3，0），當m2+2m+3≤x≤m2+2m+5，且am＜0時，拋物線最低點的縱坐標為﹣，求m的值；

（3）已知點C（﹣5，﹣3）和點D（5，1），若拋物線與線段CD有兩個不同的交點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）；（3）a＞或a＜﹣3．

【解析】

（1）①令x＝0，由拋物線的解析式求出y的值，便可得A點坐標；

②根據拋物線的對稱軸公式列出a的方程，便可求出a的值；

（2）把B點坐標代入拋物線的解析式，便可求得a的值，再結合已知條件am＜0，得m的取值范圍，再根據二次函數的性質結合條件當m2+2m+3≤x≤m2+2m+5時，拋物線最低點的縱坐標為,列出m的方程，求得m的值，進而得出m的準確值；

（3）用待定系數法求出CD的解析式，再求出拋物線的對稱軸，進而分兩種情況：當a＞0時，拋物線的頂點在y軸左邊，要使拋物線與線段CD有兩個不同的交點，則C、D兩必須在拋物線上方，頂點在CD下方，根據這一條件列出a不等式組，進行解答；當a＜0時，拋物線的頂點在y軸的右邊，要使拋物線與線段CD有兩個不同的交點，則C、D兩必須在拋物線下方，拋物線的頂點必須在CD上方，據此列出a的不等式組進行解答．

（1）①令x＝0，得，

∴,

故答案為：；

②∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣4，

∴ ，

∴a＝，

故答案為：；

（2）∵點B為（3，0），

∴9a+6﹣＝0，

∴a＝﹣，

∴拋物線的解析式為：，

∴對稱軸為x＝﹣2，

∵am＜0，

∴m＞0，

∴m2+2m+3＞3＞﹣2，

∵當m2+2m+3≤x≤m2+2m+5時，y隨x的增大而減小，

∵當m2+2m+3≤x≤m2+2m+5，且am＜0時，拋物線最低點的縱坐標為﹣，

∴ ，

整理得（m2+2m+5）2﹣4（m2+2m+5）﹣12＝0，

解得，m2+2m+5＝6，或m2+2m+5＝﹣2（△＜0，無解），

∴，

∵m＞0，

∴；

（3）設直線CD的解析式為y＝kx+b（k≠0），

∵點C（﹣5，﹣3）和點D（5，1），

∴ ，

∴，

∴CD的解析式為，

∵y＝ax2+2x﹣（a≠0）

∴對稱軸為，

①當a＞0時，，則拋物線的頂點在y軸左側，

∵拋物線與線段CD有兩個不同的交點，

∴，

∴；

②當a＜0時，，則拋物線的頂點在y軸左側，

∵拋物線與線段CD有兩個不同的交點，

∴，

∴a＜﹣3，

綜上，或a＜﹣3．