Question

【題目】如圖（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm，點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動，他們的運動時間為t(s).

（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t=1時，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由

（2）判斷此時線段PC和線段PQ的關系，并說明理由。

（3）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB=∠DBA=60°”，其他條件不變，設點Q的運動速度為x cm/s，是否存在實數x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應的x、t的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由見解析；
（2）PC=PQ且PC⊥PQ，理由見解析；

（3）存在；或．

【解析】

（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ；

（2）由（1）得出PC=PQ，∠ACP=∠BPQ，進一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出結論即可；

（3）分兩種情況：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程組求得答案即可．

解：（1）如圖（1），△ACP≌△BPQ，理由如下：

當t=1時，AP=BQ=1，

∴BP=AC=3，

又∵∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，

，

∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
（2）PC=PQ且PC⊥PQ，理由如下：

由（1）可知△ACP≌△BPQ

∴PC=PQ，∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
∴PC⊥PQ．
（3）如圖（2），分兩種情況討論：

當AC=BP，AP=BQ時，△ACP≌△BPQ，則

，

解得，

當AC=BQ，AP=BP時，△ACP≌△BQP，則，

解得

綜上所述，存在或使得△ACP與△BPQ全等．