Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y= x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y= x2+bx+c經過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．

（1）求拋物線的函數表達式；
（2）點D為直線AC上方拋物線上一動點；
①連接BC、CD，設直線BD交線段AC于點E，△CDE的面積為S1 ， △BCE的面積為S2 ， 求 的最大值；
②過點D作DF⊥AC，垂足為點F，連接CD，是否存在點D，使得△CDF中的某個角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根據題意得A（﹣4，0），C（0，2），

∵拋物線y=﹣ x2+bx+c經過A、C兩點，

∴ ，

∴ ，

∴y=﹣ x2﹣ x+2

（2）

解：①如圖，

令y=0，

∴﹣ x2﹣ x+2=0，

∴x1=﹣4，x2=1，

∴B（1，0），

過D作DM⊥x軸于M，過B作BN⊥x軸交于AC于N，

∴DM∥BN，

∴△DME∽△BNE，

∴ = = ，

設D（a，=﹣ a2﹣ a+2），

∴M（a， a+2），

∵B（1.0），

∴N（1， ），

∴ = = （a+2）2+ ；

∴當a=2時， 的最大值是 ；

②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），

∴AC=2 ，BC= ，AB=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點P，

∴P（﹣ ，0），

∴PA=PC=PB= ，

∴∠CPO=2∠BAC，

∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）= ，

過作x軸的平行線交y軸于R，交AC的延長線于G，

情況一：如圖，

∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，

∴∠CDG=∠BAC，

∴tan∠CDG=tan∠BAC= ，

即 ，

令D（a，﹣ a2﹣ a+2），

∴DR=﹣a，RC=﹣ a2﹣ a，

∴ ，

∴a1=0（舍去），a2=﹣2，

∴xD=﹣2，

情況二，∴∠FDC=2∠BAC，

∴tan∠FDC= ，

設FC=4k，

∴DF=3k，DC=5k，

∵tan∠DGC= = ，

∴FG=6k，

∴CG=2k，DG=3 k，∴

∴RC= k，RG= k，

DR=3 k﹣ k= k，

∴ = = ，

∴a1=0（舍去），a2= ，

點D的橫坐標為﹣2或﹣ ．

【解析】（1）根據題意得到A（﹣4，0），C（0，2）代入y=﹣ x2+bx+c，于是得到結論；（2）①如圖，令y=0，解方程得到x1=﹣4，x2=1，求得B（1，0），過D作DM⊥x軸于M，過B作BN⊥x軸交于AC于N，根據相似三角形的性質即可得到結論；②根據勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點P，求得P（﹣ ，0），得到PA=PC=PB= ，過作x軸的平行線交y軸于R，交AC的延線于G，情況一：如圖，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，情況二，∠FDC=2∠BAC，解直角三角形即可得到結論．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．