Question

【題目】如圖，已知矩形OABC，以點O為坐標原點建立平面直角坐標系，其中A（2，0），C（0，3），點P以每秒1個單位的速度從點C出發在射線CO上運動，連接BP，作BE⊥PB交x軸于點E，連接PE交AB于點F，設運動時間為t秒．

（1）當t=2時，求點E的坐標；

（2）若AB平分∠EBP時，求t的值.

（3）在運動的過程中，是否存在以P、O、E為頂點的三角形與△ABE相似．若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）E（5，0）；（2）∴t=2；（3）存在；（0，）或（0，）．

【解析】

（1）本題需先求出AB=AE，再求出DE=5，即可求出點E的坐標．
（2）本題需先求出CP=CB=2，即可求出t的值．
（3）本題需先證出△BCP∽△BAE，求出AE=t，再分兩種情形分別求解即可解決問題；

解：（1）當t=2時，PC=2，

∵BC=2，

∴PC=BC，

∴∠PBC=45°，

∴∠BAE=90°，

∴∠AEB=45°，

∴AB=AE=3，

∴OE=5,

∴點E的坐標是（5，0）；

（2）當AB平分∠EBP時，

∠PBF=45°，

則∠CBP=∠CPB=45°，

∴CP=CB=2,

∴t=2；

（3）存在，

∵∠ABE+∠ABP=90°，

∠PBC+∠ABP=90°，

∴∠ABE=∠PBC，

∵∠BAE=∠BCP=90°，

∴△BCP∽△BAE，

∴ ，

∴ ，

∴ t，

∵若△POE∽△EAB，

∴ ,

∴，

∴t1= ，t2=（舍去），

∴P的坐標為（0， ）；

當點P在y軸的負半軸上時，若△POE∽△EAB，則有，無解，

若△POE∽△BAE，則有：，

解得t=3+ 或3﹣（舍棄）

∴P的坐標為（0，）或（0，）．