Question

【題目】如圖，直線分別與x軸，y軸交于點A，B兩點，點C為OB的中點，拋物線經過A，C兩點．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）點D是直線AB下方的拋物線上的一點，且的面積為，求點D的坐標；

（3）點P為拋物線上一點，若是以AB為直角邊的直角三角形，求點P到拋物線的對稱軸的距離．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（2，-3）；（3）或或.

【解析】

（1）由直線解析式求出A、B坐標，然后得出C點坐標，再用待定系數法求出拋物線解析式；

（2）過點D作DE⊥x軸，交直線AB于點E，設D（m，），利用S△ABD==得出方程，解出m值即可；

（3）分點A是直角頂點和點B是直角頂點，結合圖像，表示出△ABP三邊長度，利用勾股定理得出方程，求解即可.

解：（1）直線中，

令x=0，則y=10，令y=0，則x=5，

∴A（5，0），B（0，10），

∵點C是OB中點，

∴C（0，5），將A和C代入拋物線中，

，解得：，

∴拋物線表達式為：；

（2）聯立：，

解得：或，

∴直線AB與拋物線交于點（-1，12）和（5，0），

∵點D是直線AB下方拋物線上的一點， 設D（m，），

∴-1＜m＜5，

過點D作DE⊥x軸，交直線AB于點E，

∴E（m，-2m+10），

∴DE==，

∴S△ABD===，

解得：m=2，

∴點D的坐標為（2，-3）；

（3）拋物線表達式為：，

∵△APB是以AB為直角邊的直角三角形，

設點P（n，），∵A（5，0），B（0，10），

∴AP2=，BP2=，AB2=125，

當點A為直角頂點時，

BP2= AB2+ AP2，

解得：n=或5（舍），

當點B為直角頂點時，

AP2= AB2+ BP2，

解得：n=或，

而拋物線對稱軸為直線x=3，

則3-=，-3=，3-=，

綜上：點P到拋物線對稱軸的距離為：或或.