Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，點E，F分別是邊AB，BC上的動點（不與端點重合），且始終保持AE＝BF，連接AF，CE相交于點P過點A作直線m∥BC，過點C作直線n∥AB，直線m，n相交于點D，連接PD交AC于點G，在點E，F的運動過程中，若＝，則的值為_____．

Answer 1

【答案】，

【解析】

作DH⊥AC于H，由“SAS”可證△ABF≌△CAE，可得∠BAF＝∠ACE，可求∠CPF＝60°，通過證明A，P，C，D四點共圓，可得∠ACP＝∠ADP，∠APD＝∠ACD＝60°，通過證明△DAG∽△DPA，可得DA2＝DGDP＝20k2，可求DA的長，由勾股定理可求GH的長，即可求解．

解：作DH⊥AC于H，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC＝AB，∠B＝∠CAE＝60°，且AE＝BF，

∴△ABF≌△CAE（SAS），

∴∠BAF＝∠ACE，

∴∠CPF＝∠ACP+∠CAP＝∠BAF+∠CAP＝∠CAB＝60°，

∵m∥BC，n∥AB，

∴∠DAC＝∠ACB＝60°，∠ACD＝∠BAC＝60°，

∴△ADC是等邊三角形，

∴∠ADC＝60°，

∵∠APC+∠ADC＝180°，

∴A，P，C，D四點共圓，

∴∠ACP＝∠ADP，∠APD＝∠ACD＝60°

∵

∴可以假設PG＝k，DG＝4k，

∵∠ADG＝∠ADP，∠DAG＝∠DPA＝60°，

∴△DAG∽△DPA，

∴DA2＝DGDP＝20k2，

∵DA＞0

∴

∴

在Rt△DGH中，

∴

∴

當點G在點H下方時，根據對稱性可得：

故答案為：，．