Question

【題目】如圖，四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面ABCD，AD= ，DC=SD=2，點M在側棱SC上，∠ABM=60°．
（Ⅰ）證明：M是側棱SC的中點；
（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：作ME∥CD交SD于點E，則ME∥AB，ME⊥平面SAD， 連接AE，則四邊形ABME為直角梯形，
作MF⊥AB，垂足為F，則AFME為矩形，
設ME=x，則SE=x，AE= = ，
MF=AE= ，FB=2﹣x，
由MF=FBtan 60°，得 ，
解得x=1，即ME=1，
從而ME= ，
∴M為側棱SC的中點．
（Ⅱ）解：MB= =2，
又∠ABM=60°，AB=2，∴△ABM為等邊三角形．
又由（Ⅰ）知M為SC中點，SM= ，SA= ，AM=2，
∴SA2=SM2+AM2 ， ∠SMA=90°，
取AM中點G，連結BG，取SA中點H，連結GH，
則BG⊥AM，GH⊥AM，
由此知∠BGH為二面角S﹣AM﹣B的平面角，
連結BH，在△BGH中，
BG= ，GH= ，BH= = ，
∴cos∠BGH= =﹣ ．
∴二面角S﹣AM﹣B的余弦值為﹣ ．

【解析】
【考點精析】利用棱錐的結構特征對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方．