Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A（3，0），B（0，4），點(diǎn)C在第一象限，AB⊥BC，BC=BA，點(diǎn)P在線段OB上，OP=OA，AP的延長線與CB的延長線交于點(diǎn)M，AB與CP交于點(diǎn)N．

（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為：　　　　；

（2）求證：BM=BN；

（3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為D，點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)為G，求證：D，G關(guān)于x軸對稱．

Answer 1

【答案】（1）（4,7）（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，根據(jù)AAS證明△AOB≌△BEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等量替換可得∠1=∠2，根據(jù)ASA證明△ABM≌△CBN，即可證得BM=BN；

（3）根據(jù)SAS證明△DAH≌△GAH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解.

（1）過點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，故∠BEC=90°，

∴∠BEC=∠AOB，

∴∠ABC=90°，

∴∠ABO+∠CBE=90°，

∵∠ABO+∠BAO=90°

∴∠CBE=∠BAO

∴△AOB≌△BEC（AAS）

∴CE=OB=4，BE=OA=3，

∴OE=OB+BE=7，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（4,7）

（2）∵△AOB≌△BEC

∴BE=OA=OP,CE=BO，

∴PE=OB=CE，

∴∠EPC=45°，∠APC=90°，

∴∠1=∠2，

∴△ABM≌△CBN（ASA）

∴BM=BN,

（3）點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為D，點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)為G，

∴AD=AC,AG=AC,

∴AD=AG,

∵∠1=∠5，∠1=∠6，

∴∠5=∠6，

在△DAH與△GAH中

∴△DAH≌△GAH（SAS）

∴D，G關(guān)于x軸對稱．