Question

【題目】已知：中，是直徑，弦．

如圖1，求證：

如圖2，點在圓上，連接，若，求的值；

如圖3，在的條件下，分別延長線段交于點，過作于，連接，若，求的長．

Answer 1

【答案】詳見解析； ；

【解析】

（1）連接OC，OD，證明△AOD≌△BOC即可；

（2）作直徑DQ，連接CQ，則∠DCQ=90°，根據DC∥AB，可得∠CHB=∠DCQ=90°，根據弧DC=弧DC，可得tan∠Q=tan∠DEC=，可設DC=7k，則CQ=24k，根據已知可得出CH=CQ=12k，HB=9k，即可得出tan∠B，根據弧AC=弧AC，可得∠CEA=∠B，即可得出答案；

（3）由現有條件可得AF=BF，連接FO，得∠OFG=∠EAB=α，再設∠AFG=β，在AE上取GN=AG=3，連接FN，則FN=FA=FB，推出tan∠NBE=，設BE=3n，則NE=4n，GE=2BE=6n，可推出AB==，所以在Rt△FOB中，tan∠OBF=，設FO=4t，OB=3t，即可得出FB，根據FA=FB即可確定答案．

（1）如圖，連接OC，OD，

∵OC=OD，

∴∠ODC=∠OCD，

∵DC∥AB，

∴∠AOD=∠ODC=∠OCD=∠BOC，

又∵OA=OB，

∴△AOD≌△BOC，

∴AD=BC；

（2）作直徑DQ，連接CQ，則∠DCQ=90°，

∵DC∥AB，

∴∠CHB=∠DCQ=90°，

又∵AB是直徑，

∴CH=QH=CQ，

∴OH是△DCQ的中位線，

∴OH=DC，

∵弧DC=弧DC，

∴∠DEC=∠Q，

∴tan∠Q=tan∠DEC=，

設DC=7k，則CQ=24k，

∴CH=CQ=12k，OH=DC=k，

2r=DQ==25k，

∴OB=r=k，

∴HB=OB-OH=k-k=9k，

∴tan∠B===，

∵弧AC=弧AC，

∴∠CEA=∠B，

∴tan∠CEA= tan∠B=；

（3）如圖1，

∵∠AOD =∠BOC，

∴∠AOD+∠DOC=∠BOC+∠DOC，即∠AOC=∠BOD，

∴弧AC=弧BD，

∴∠FAB=∠FBA，

∴AF=BF，

如圖3，連接FO，

∵AO=BO，

∴∠BFO=∠AFO，FO⊥AB，

又∵FG⊥AE，

∴∠FOA=∠AGF=90°，

∴∠OFG=∠EAB=α，

設∠AFG=β，

則∠BFO=∠AFO=∠OFG+∠AFG=α+β，

∴∠AFB=2（α+β），

在AE上取GN=AG=3，連接FN，則FN=FA=FB，

∴∠GFN=∠AFG=β，

∴∠NFB=∠AFB-∠AFN=2（α+β）-2β=2α，

∴∠FBN=∠FNB==90°-α，

∵AB是直徑，

∴∠AEB=90°，

∴∠ABE=90°-∠EAB=90°-α=∠FBN，

∴∠ABE-∠ABN=∠FBN-∠ABN，

∴∠NBE=∠ABC，

∴tan∠NBE=，

∴設BE=3n，則NE=4n，

GE=2BE=6n，

∴6n=3+4n，

∴n=，

∴BE=，AE=12，

∴AB==，

在Rt△FOB中，tan∠OBF=，

∴設FO=4t，OB=3t，

∴FB==5t，

∴FB=OB=×=，

∴FA=FB=．