Question

【題目】已知拋物線的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且關于直線對稱，點A的坐標為（﹣1，0）．

（Ⅰ）求拋物線C的解析式和頂點坐標；

（Ⅱ）將拋物線繞點O順時針旋轉180°得拋物線，且有點P（m，t）既在拋物線上，也在拋物線上，求m的值；

（Ⅲ）當時，二次函數的最小值為，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y＝x2﹣2x﹣3；頂點坐標為（1，-4）；（Ⅱ），；（Ⅲ）a的值為1﹣或2+．

【解析】

（1）利用二次函數的對稱性，由點坐標得出點坐標，利用二次函數的交點式直接寫出解析式即可，把二次函數的化成頂點式，直接求出頂點坐標；

（2）先求出拋物線的解析式，把分別代入到、的解析式中得到關于的方程組，解方程組即可得出正確答案；

（3）分、、三種情況討論即可．

解：（Ⅰ）∵點A（﹣1，0）與點B關于直線x＝1對稱，

∴點B的坐標為（3，0），

則，

即拋物線C的表達式為y＝x2﹣2x﹣3；

∵，

∴ 頂點坐標為．

（Ⅱ）由拋物線C解析式知B（3，0），點A的坐標為（﹣1，0）

所以點A點B關于原點的對稱點為（1，0）和（﹣3，0），都在拋物線上，

且拋物線開口向下，形狀與由拋物線C相同，

于是可得拋物線的解析式為，即y＝﹣x2﹣2x+3；

由點在拋物線上，有，

由點也在拋物線上，有，

∴．

解得，．

（III）①當a+1＜1時，即a＜0，

則函數的最小值為（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，

解得a＝1﹣（正值舍去）；

②當a＜1≤a+1時，即0≤a＜1，

則函數的最小值為1﹣2﹣3＝2a，

解得：a＝﹣2（舍去）；

③當時，

則函數的最小值為a2﹣2a﹣3＝2a，解得a＝2+（負值舍去）；

綜上，a的值為1﹣或2+．