Question

【題目】如圖，已知BF是⊙O的直徑，A為⊙O上（異于B、F）一點，⊙O的切線MA與FB的延長線交于點M；P為AM上一點，PB的延長線交⊙O于點C，D為BC上一點且PA=PD，AD的延長線交⊙O于點E．

（1）求證： ；

（2）若ED、EA的長是一元二次方程的兩根，求BE的長；

（3）若MA=，sin∠AMF=，求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】試題分析：（1）連接OA、OE交BC于T．想辦法證明OE⊥BC即可；

（2）由ED、EA的長是一元二次方程的兩根，可得EDEA=5，由△BED∽△AEB，可得，推出BE2=DEEA=5，即可解決問題；

（3）作AH⊥OM于H．求出AH、BH即可解決問題；

試題解析：（1）證明：連接OA、OE交BC于T．

∵AM是切線，∴∠OAM=90°，∴∠PAD+∠OAE=90°，∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA=∠EDT，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠EDT+∠OEA=90°，∴∠DTE=90°，∴OE⊥BC，∴ ．

（2）∵ED、EA的長是一元二次方程的兩根，∴EDEA=5，∵，∴∠BAE=∠EBD，∵∠BED=∠AEB，∴△BED∽△AEB，∴，∴BE2=DEEA=5，∴BE=．

（3）作AH⊥OM于H．在Rt△AMO中，∵AM=，sin∠M==，設OA=m，OM=3m，∴9m2﹣m2=72，∴m=3，∴OA=3，OM=9，易知∠OAH=∠M，∴tan∠OAD==，∴OH=1，AH=．BH=2，∴span>AB===．