Question

12．如圖，∠AOB=120°，射線OC從OA開始，繞點O逆時針旋轉，旋轉的速度為每分鐘20°；射線OD從OB開始，繞點O逆時針旋轉，旋轉的速度為每分鐘5°，OC和OD同時旋轉，設旋轉的時間為t（0≤t≤15）．
（1）當t為何值時，射線OC與OD重合；
（2）當t為何值時，射線OC⊥OD；
（3）試探索：在射線OC與OD旋轉的過程中，是否存在某個時刻，使得射線OC，OB與OD中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請求出所有滿足題意的t的取值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據題意可得，射線OC與OD重合時，20t=5t+120，可得t的值；
（2）根據題意可得，射線OC⊥OD時，20t+90=120+5t或20t-90=120+5t，可得t的值；
（3）分三種情況，一種是以OB為角平分線，一種是以OC為角平分線，一種是以OD為角平分線，然后分別進行討論即可解答本題．

解答 解：（1）由題意可得，
20t=5t+120
解得t=8，
即t=8min時，射線OC與OD重合；
（2）由題意得，
20t+90=120+5t或20t-90=120+5t，
解得，t=2或t=14
即當t=2min或t=14min時，射線OC⊥OD；
（3）存在，
由題意得，120-20t=5t或20t-120=5t+120-20t或20t-120-5t=5t，
解得t=4.8或t=$\frac{48}{7}$或t=12，
即當以OB為角平分線時，t的值為4.8min；當以OC為角平分線時，t的值為$\frac{48}{7}$min，當以OD為角平分線時，t的值為12min．

點評 本題考查角的計算、角平分線的性質，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．