Question

【題目】問題提出：

如圖①菱形ABCD中,AB=4,∠ABC=60°點0是菱形ABCD兩條對角線的交點,EF是經過點O的任意一條線段，容易知道線段EF將菱形ABCD的面積等分，那么線段EF的長度的最大值是 ，最小值是 。

問題探究：

如圖② 四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=2，BC=4，∠B=∠C=60°，請你過點D畫出將四邊形ABCD面積平分的線段DE，并求出DE的長。

問題解決：

如圖③.四邊形ABCD是西安城區(qū)改造過程中一塊不規(guī)則空地，為了美化環(huán)境，市規(guī)劃辦決定在這塊地里種兩種花棄,打算過點C修一條筆直的通道，以方便市民出行和觀賞花卉，并要求通道兩側種植的花卉面積相等，經測量AB=20米，AD=100米，∠A=60°，∠ABC=150°，∠BCD=120°，若將通道記為CF，請你畫出通道CF，并求出通道CF的長。

Answer 1

【答案】問題提出：，；問題探究：線段DE如圖所示，DE=；問題解決：通道CF如圖所示，CF=35米.

【解析】

問題提出：由題意可知，當EF⊥AD時，EF最短，當EF與BD重合時，EF最長，然后分別求解即可；

問題探究：如圖②，取AB中點F，連接DF并延長交CB延長線于點G，取CG中點E，連接DE，首先易證△AFD≌△BFG，通過作CG中點E得到S△DEG=S△DEC，即可證明DE即為所求，然后根據等腰梯形的性質和∠C=60°可求出DM，EM，最后利用勾股定理求出DE即可；

問題解決：如圖③，連接AC，過點B作BH∥AC交DA延長線于點H，取DH中點F，由S△HAC= S△BAC可知S四邊形ABCD=S△CHD，即可證明CF即為所求；然后如圖④，延長AB，DC交于點M，過點C作CN⊥AD，根據含30°直角三角形的性質可求出CN和ND，根據三角形面積可求出DF，然后利用勾股定理求出CF即可.

解：問題提出：如圖①，由題意可知，當EF⊥AD時，EF最短，

∵AB=4，∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AC=4，∠DAO=60°，

∴AO=2，

∴OE=，

∴EF=2OE=；

當EF與BD重合時，EF最長，

∵AB=4，AO=2，

∴BO=,

此時EF=BD=2BO=，

故答案為：，；

問題探究：如圖②，取AB中點F，連接DF并延長交CB延長線于點G，取CG中點E，連接DE，則DE即為所求；

∵AD∥BC，

∴∠ADG=∠G，

∵∠AFD=∠BFG，AF=BF，

∴△AFD≌△BFG，

∴S△AFD= S△BFG，

∵E是CG中點，

∴S△DEG=S△DEC，

∴S四邊形ABED= S△DEC，即DE將四邊形ABCD面積平分，

過點D作DM⊥BC于點M，

∵AD=2，BC=4，∠B=∠C=60°，

∴CE=3，CM=1，

∴DM=，EM=2，

∴DE=；

問題解決：如圖③，連接AC，過點B作BH∥AC交DA延長線于點H，取DH中點F，則CF即為所求；

∵BH∥AC，

∴S△HAC= S△BAC，

∴S四邊形ABCD=S△CHD，

∵F為DH中點，

∴CF將四邊形ABCD面積平分；

如圖④，延長AB，DC交于點M，

∵∠ABC=150°，∠BCD=120°，

∴∠MBC=30°，∠BCM=60°，

∴∠M=90°，

∵AB=20米，AD=100米，∠A=60°，

∴∠D=30°，

∴AM=50米，MD=米，

∴BM=30米，MC=米，

∴S△CFD=S四邊形ABCD=(S△AMD－S△BMC)=，

過點C作CN⊥AD，CD=米，

∴CN=米，ND=60米，

∴S△CFD=，

解得：DF=55米，

∴NF=5米，

∴CF=米.