Question

【題目】如圖，在△ABC 中，AB = AC，以AB為直徑的⊙O 分 別交AC，BC于點 D，E，過點B作⊙O的切線， 交 AC的延長線于點F．

(1) 求證：∠CBF =∠CAB；

(2) 若CD = 2，，求FC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）FC= .

【解析】

（1）利用等腰三角形的性質易證∠BAE=∠EAC=∠CAB，由弦切角定理可得∠BAE=∠CBF，即可證明.
（2）連接BD，由∠DBC=∠CBF. 得到tan∠DBC=.得出BD=4. 設AB=x，則AD= ，在RtΔABD中，根據勾股定理求得AB=5，證明ΔABD∽ΔAFB，根據相似三角形的性質即可求解.

（1）證明：∵AB 為⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°.

∴∠BAE+∠ABC=90°，

∵AB = AC，

∴∠BAE=∠EAC=∠CAB.

∵BF為⊙O 的切線，

∴∠ABC+∠CBF=90°.

∴∠BAE=∠CBF.

∴∠CBF =∠CAB.

（2）解：連接BD，

∵AB 為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°.

∵∠DBC=∠DAE，

∴∠DBC=∠CBF.

∵tan∠CBF=.

∴tan∠DBC=.

∵CD=2，

∴BD=4.

設AB=x，則AD= ，

在RtΔABD中，∠ADB=90°，由勾股定理得x=5.

∴AB=5，AD=3.

∵∠ABF=∠ADB=90°，∠BAF=∠BAF.

∴ΔABD∽ΔAFB.

∴.

∴AF=.

∴FC=AF-AC=.