Question

【題目】拋物線y=ax2+c與x軸交于A，B兩點，頂點為C，點P為拋物線上，且位于x軸下方．

（1）如圖1，若P（1，﹣3），B（4，0）．
①求該拋物線的解析式；
②若D是拋物線上一點，滿足∠DPO=∠POB，求點D的坐標；
（2）如圖2，已知直線PA，PB與y軸分別交于E、F兩點．當點P運動時， 是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①將P（1，﹣3），B（4，0）代入y=ax2+c，得

，解得 ，

拋物線的解析式為y= x2﹣ ；

②如圖1

，

由∠DPO=∠POB，得

DP∥OB，

D與P關于y軸對稱，P（1，﹣3），

得D（﹣1，﹣3）；

（2）

解：點P運動時， 是定值，

設P點坐標為（m， m2﹣ ），A（﹣4，0），B（4，0），

設AP的解析式為y=kx+b，將A、P點坐標代入，得

，

解得b= ，即E（0， ），

設BP的解析式為y=k1x+b1，將B、P點坐標代入，得

，

解得b2= ，即F（0， ），

OF+OE= + = = ，

= =2．

【解析】本題考查了二次函數綜合題，①利用待定系數法求函數解析式；②利用函數值相等的點關于對稱軸對稱得出D點坐標是解題關鍵；（2）利用待定系數法求出E、F點坐標是解題關鍵．（1）①根據待定系數法求函數解析式，可得答案；②根據平行線的判定，可得PD∥OB，根據函數值相等兩點關于對稱軸對稱，可得D點坐標；（2）根據待定系數法，可得E、F點的坐標，根據分式的性質，可得答案．