Question

【題目】下面是小東設計的“在三角形一邊上求作一個點，使這點和三角形的兩個頂點構成的三角形與原三角形相似”的尺規作圖過程．

已知：△ABC．

求作：在BC邊上求作一點P，使得△PAC∽△ABC．

作法：如圖，

①作線段AC的垂直平分線GH；

②作線段AB的垂直平分線EF，交GH于點O；

③以點O為圓心，以OA為半徑作圓；

④以點C為圓心，CA為半徑畫弧，交⊙O于點D（與點A不重合）；

⑤連接線段AD交BC于點P．

所以點P就是所求作的點．

根據小東設計的尺規作圖過程，

（1）使用直尺和圓規，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明．

證明：∵CD＝AC，

∴＝　 　．

∴∠　 　＝∠　 　．

又∵∠　 　＝∠　 　，

∴△PAC∽△ABC（　 　）（填推理的依據）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），CAP，ABC，ACP，BCA，有兩組角對應相等的兩個三角形相似

【解析】

(1)按照題目步驟進行做題即可；

(2)連接CD，由作圖知，AC＝CD，,可得∠CAP＝∠ABC，又∠ACP＝∠BCA，

可得△ACP∽△BCA（有兩組角對應相等的兩個三角形相似）.

解：（1）補全圖形如圖所示：

（2）連接CD，由作圖知，AC＝CD，

∴=，

∴∠CAP＝∠ABC，

∵∠ACP＝∠BCA，

∴△ACP∽△BCA（有兩組角對應相等的兩個三角形相似），

故答案為：，CAP，ABC，ACP，BCA，有兩組角對應相等的兩個三角形相似．