Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經過A（﹣1，0），C（0，4）兩點，與x軸交于另一點B，

（1）求拋物線的解析式；
（2）求P在第一象限的拋物線上，P點的橫坐標為t，過點P向x軸做垂線交直線BC于點Q，設線段PQ的長為m，求m與t之間的函數關系式并求出m的最大值；
（3）在（2）的條件下，拋物線上一點D的縱坐標為m的最大值，連接BD，在拋物線是否存在點E（不與點A，B，C重合）使得∠DBE=45°？若不存在．請說明理由；若存在請求E點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線y=﹣x2+bx+c經過A（﹣1，0）、C（0，4）兩點，

∴ 解得

∴拋物線的解析式y=﹣x2+3x+4

（2）

解：令﹣x2+3x+4=0，

解得x1=﹣1，x2=4，

∴B（4，0）

設直線BC的解析式為y=kx+a

∴ 解得 ，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+4

設P點的坐標為（t，﹣t2+3t+4），則Q點的坐標為（t，﹣t+4）

∴m=（﹣t2+3t+4）﹣（﹣t+4）=﹣（t﹣2）2+4

整理得m=﹣（t﹣2）2+4，

∴當t=2時，m的最大值為4

（3）

解：存在

∵拋物線一點D的縱坐標為m的最大值4，

∴﹣x2+3x+4=4，解得x1=0（舍），x2=3

∴D（3，4），CD=3

∵C（0，4），

∴CD∥x軸，

∵OC=OB=4，

∴△BOC為直角三角形，

過點D作DH⊥BC于H，過點E作EF⊥x于點F，在△CDB中，CD=3，∠DCB=45°

∴CH=DH= ，

∵CB=4 ，∴BH=CB﹣CH=

∵∠DBE=∠CBO=45°

∴∠DBE﹣∠CBE=∠CBO﹣∠CBE，

即∠DBC=∠EBF

∴tan∠DBC= = =

設EF=3a∴BF=5a

∴OF=5a﹣4

∴F（4﹣5a，0），E（4﹣5a，3a）

∵點E在拋物線上

∴3a=﹣（4﹣5a）2+3（4﹣5a）+4

解得a1=0 a2=

∴E（﹣ ， ）．

【解析】（1）把點A、B的坐標代入拋物線解析式，解關于b、c的方程組求出b、c的值即可得到拋物線解析式，令y=0，解關于x的一元二次方程即可得到點C的坐標；（2）根據拋物線的解析式y=﹣x2+3x+4，令y=0求得點B的坐標為（4.0），設直線BC的解析式為y=kx+a把點B、C的坐標代入直線BC的解析式為y=kx+a，解關于k、a的方程組求出k、a的值，所以直線BC的解析式為y=﹣x+4，設P點的坐標為（t，﹣t2+3t+4），則Q點的坐標為（t，﹣t+4），所以m=（﹣t2+3t+4）﹣（﹣t+4），整理得m=﹣（t﹣2）2+4，根據關于m、t的二次函數即可求得．（3）根據m的最大值是4，代入y=﹣x2+3x+4，可求得D點的坐標（3，4），過D點作DH⊥BC，過E點作EF⊥x軸，由OC=OB=4得△DCB為等腰直角三角形，從而得出△CDH為等腰直角三角形，通過等腰直角三角形求得CN、BH的值，然后根據三角形相似求得EF、BF的關系，設出E點的坐標，然后代入y=﹣x2+3x+4即可求得．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．