Question

【題目】如圖，等圓⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點，⊙O1經過⊙O2的圓心，順次連接A、O1、B、O2 ．
（1）求證：四邊形AO1BO2是菱形；
（2）過直徑AC的端點C作⊙O1的切線CE交AB的延長線于E，連接CO2交AE于D，求證：CE=2O2D；
（3）在（2）的條件下，若△AO2D的面積為1，求△BO2D的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵⊙O1與⊙O2是等圓，

∴AO1=O1B=BO2=O2A，

∴四邊形AO1BO2是菱形；

（2）證明：∵四邊形AO1BO2是菱形，

∴∠O1AB=∠O2AB，

∵CE是⊙O1的切線，AC是⊙O1的直徑，

∴∠ACE=∠AO2C=90°，

∴△ACE∽△AO2D，

，

即CE=2DO2；

（3）解：∵四邊形AO1BO2是菱形，

∴AC∥BO2

∴△ACD∽△BO2D，

∴ ，

∴AD=2BD，

∵ ，

∴ ，

【解析】（1）根據⊙O1與⊙O2是等圓，可得AO1=O1B=BO2=O2A，利用四條邊都相等的四邊形是菱形可判定出結論；（2）根據已知得出△ACE∽△AO2D，進而得出 ，即可得出答案；（3）首先證明△ACD∽△BO2D，得出 ，AD=2BD，再利用等高不等底的三角形面積關系得出答案即可．
【考點精析】掌握菱形的判定方法和相交兩圓的性質是解答本題的根本，需要知道任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形；相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦．