Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，BC是⊙O的直徑，弦AF交BC于點E，延長BC到點D，連接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD，∠D=∠BAF．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，CE=2，求EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAF+∠FAC=90°，

∵∠D=∠BAF，∠AOD=∠FAC，

∴∠D+∠AOD=90°，

∴∠OAD=90°，

∴AD是⊙O的切線；

（2）解：連接BF，

∴∠FAC=∠AOD，

∴△ACE∽△DCA，

∴ ，

∴ ，

∴AC=AE= ，

∵∠CAE=∠CBF，

∴△ACE∽△BFE，

∴ ，

∴ = ，

∴EF= ．

【解析】（1）由BC是⊙O的直徑，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代換得到∠D+∠AOD=90°，于是得到結論；（2）連接BF，根據相似三角形的判定和性質即可得到結論．
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．