Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與直線分別交于軸、軸上的兩點，設該拋物線與軸的另一個交點為點，頂點為點，聯結交軸于點.

求該拋物線的表達式及點的坐標；

求的正切值；

如果點在軸上，且，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x-3；（2）；（3）①；②

【解析】

（1）y=x-3，令y=0，則x=6，令x=0，則y=-3，求出則點B、C的坐標，將點B、C坐標代入拋物線y=-x2+bx+c，即可求解；

（2）求出點E（3，0），EH=EBsin∠OBC=，CE=3，則CH=，即可求解；

（3）分點F在y軸負半軸和在y軸正半軸兩種情況，分別求解即可．

（1）y=x-3，令y=0，則x=6，令x=0，則y=-3，

則點B、C的坐標分別為（6，0）、（0，-3），則c=-3，

將點B坐標代入拋物線y=-x2+bx-3得：0=-×36-6b-3，

解得：b=2，

故拋物線的表達式為：y=-x2+2x-3，

令y=0，則x=6或-2，

即點A（2，0），

y=-x2+2x-3=- (x-4)2+1

則點D（4，1）；

（2）過點E作EH⊥BC交于點H，

C、D的坐標分別為：（0，-3）、（4，1），

直線CD的表達式為：y=x-3，則點E（3，0），

tan∠OBC=，

則sin∠OBC=，

則EH=EBsin∠OBC=，

CE=3，則CH=，

則tan∠DCB=；

（3）點A、B、C、D、E的坐標分別為（2，0）、（6，0）、（0，-3）、（4，1）、（3，0），

則BC=3，

∵OE=OC，

∴∠AEC=45°，

tan∠DBE==，

故：∠DBE=∠OBC，

則∠FBC=∠DBA+∠DCB=∠AEC=45°，

①當點F在y軸負半軸時，

過點F作FG⊥BG交BC的延長線與點G，

則∠GFC=∠OBC=α，

設：GF=2m，則CG=CGtanα=m，

∵∠CBF=45°，

∴BG=GF，

即：3+m=2m，解得：m=3，
CF==m=15，

故點F（0，-18）；

②當點F在y軸正半軸時，

同理可得：點F（0，2）；

故：點F坐標為（0，2）或（0，-18）．