Question

如圖，已知DE⊥AB垂足為E，DF⊥AC垂足為F，BD=CD，BE=CF．

（1）求證：AD平分∠BAC；

（2）丁丁同學觀察圖形后得出結論：AB+AC=2AE，請你幫他寫出證明過程．

Answer 1

【考點】全等三角形的判定與性質；角平分線的性質．

【分析】（1）根據HL定理求出Rt△BED≌Rt△CFD，根據全等三角形的性質得出DE=DF，根據角平分線性質得出即可；

（2）證Rt△AED≌Rt△AFD，根據全等得出AE=AF，即可求出答案．

【解答】證明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠E=∠DFC=90°，

在Rt△BED和Rt△CFD中，

，

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴DE=DF，

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠EAD=∠CAD，

∴AD平分∠BAC；

（2）∵∠E=∠AFD=90°，

在Rt△AED和Rt△AFD中

，

∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），

∴AE=AF，

∵BE=CF，

∴AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE﹣CF+AE+CF=2AE．

【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，角平分線性質的應用，能正確根據全等三角形的判定和性質定理進行推理是解此題的關鍵．