Question

如圖，點A、B在⊙O上，直線AC是⊙O的切線，OC⊥OB，連接AB交OC于點D．
（1）求證：AC=CD．
（2）若AC=2，AO=，求OD的長．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）1.

試題分析：（1）由AC為圓的切線，利用切線的性質得到∠OAC為直角，再由OC與OB垂直，得到∠BOC為直角，由OA=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，再利用對頂角相等及等角的余角相等得到一對角相等，利用等角對等邊即可得證.
（2）由ODC=OD+DC，DC=AC，表示出OC，在直角三角形OAC中，利用勾股定理即可求出OD的長.
試題解析：（1）∵OA=OB，∴∠OAB=∠B.
∵直線AC為圓O的切線，∴∠OAC=∠OAB+∠DAC=90°.
∵OB⊥OC，∴∠BOC="90°." ∴∠ODB+∠B=90°.
∵∠ODB=∠CDA，∴∠CDA+∠B=90°.
∴∠DAC=∠CDA. ∴AC=CD.
（2）在Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=，OC=OD+DC=OD+2，
根據勾股定理得：OC²=AC²+AO²，即（OD+2）²=2²+（）²，
解得：OD=1（負值已舍去）.