Question

20．如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，頂點(diǎn)A、C分別在坐標(biāo)軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，4），E為AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D（8，0）和點(diǎn)E的直線(xiàn)分別與BC、y軸交于點(diǎn)F、G．
（1）求直線(xiàn)DE的函數(shù)關(guān)系式；
（2）函數(shù)y=mx-2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且與x軸交于點(diǎn)H，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)和m值；
（3）點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，求使△PHF周長(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)△PHF的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，4），E為AB的中點(diǎn)，可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，又由過(guò)點(diǎn)D（8，0），利用待定系數(shù)法即可求得直線(xiàn)DE的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由（1）可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，又由函數(shù)y=mx-2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，利用待定系數(shù)法即可求得m值；

解答 解：（1）設(shè)直線(xiàn)DE的解析式為：y=kx+b，
∵頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，4），E為AB的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（6，2），
∵D（8，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=2}\\{bk+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)DE的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x+8；
（2）∵點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為4，且點(diǎn)F在直線(xiàn)DE上，
∴-x+8=4，
解得：x=4，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，4）；
∵函數(shù)y=mx-2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，
∴4m-2=4，
解得：m=$\frac{3}{2}$；
（3）如圖：，
作H關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，連接FN，F(xiàn)N與y軸的交點(diǎn)是P點(diǎn)．
當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{3}{2}$x-2=0，解得x=$\frac{4}{3}$，即H（$\frac{4}{3}$，0），
H點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是N（-$\frac{4}{3}$，0），
設(shè)FN的解析式為y=kx+b，將F，N點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=4}\\{-\frac{4}{3}k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
FN的解析式為y=$\frac{3}{4}$x+1，
當(dāng)x=0時(shí)，y=1，即P（0，1）．
由勾股定理，得
FN=$\sqrt{（4+\frac{4}{3}）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{20}{3}$，F(xiàn)H=$\sqrt{（4-\frac{4}{3}）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$，
C_△PHF最小=PF+PH+FH=FN+FH=$\frac{20}{3}$+$\frac{4\sqrt{13}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了一次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出PH=PN是解題關(guān)鍵，又利用了線(xiàn)段的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．