Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于A、D兩點(diǎn)，并經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，已知A點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)是（8，6）．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)及D點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）二次函數(shù)的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)C，使得△CBD的周長(zhǎng)最小？若C點(diǎn)存在，求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；若C點(diǎn)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+6；（2）D點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，0）；（3）存在．當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，2）時(shí)，△CBD的周長(zhǎng)最小

【解析】試題分析：（1）只需運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出二次函數(shù)的解析式；

（2）只需運(yùn)用配方法就可求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，只需令y=0就可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）連接CA，由于BD是定值，使得△CBD的周長(zhǎng)最小，只需CD+CB最小，根據(jù)拋物線是軸對(duì)稱圖形可得CA=CD，只需CA+CB最小，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得：當(dāng)點(diǎn)A、C、B三點(diǎn)共線時(shí)，CA+CB最小，只需用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，就可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)．

試題解析：

（1）把A（2，0），B（8，6）代入，得

解得：

∴二次函數(shù)的解析式為；

（2）由，得

二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣2）．

令y=0，得，

解得：x1=2，x2=6，

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，0）；

（3）二次函數(shù)的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)C，使得的周長(zhǎng)最小．

連接CA，如圖，

∵點(diǎn)C在二次函數(shù)的對(duì)稱軸x=4上，

∴xC=4，CA=CD，

∴的周長(zhǎng)=CD+CB+BD=CA+CB+BD，

根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可得

當(dāng)點(diǎn)A、C、B三點(diǎn)共線時(shí)，CA+CB最小，

此時(shí)，由于BD是定值，因此的周長(zhǎng)最小．

設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，

把A（2，0）、B（8，6）代入y=mx+n，得

解得：

∴直線AB的解析式為y=x﹣2．

當(dāng)x=4時(shí)，y=4﹣2=2，

∴當(dāng)二次函數(shù)的對(duì)稱軸上點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，2）時(shí)，的周長(zhǎng)最小．