Question

27、如圖（1），在正方形ABCD中，E是AB上一點，F是AD延長線上一點，且DF=BE．容易證得：CE=CF；
（1）在圖1中，若G在AD上，且∠GCE=45°．試猜想GE、BE、GD三線段之間的數量關系，并證明你的結論．
（2）運用（1）中解答所積累的經驗和知識，完成下面兩題：
①如圖（2），在四邊形ABCD中∠B=∠D=90°，BC=CD，點E，點G分別是AB邊，AD邊上的動點．若∠BCD=α°，∠ECG=β°，試探索當α和β滿足什么關系時，圖（1）中GE、BE、GD三線段之間的關系仍然成立，并說明理由．
②在平面直角坐標中，邊長為1的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點O在原點．現將正方形OABC繞O點順時針旋轉，當A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉，旋轉過程中，AB邊交直線y=x于點M，BC邊交x軸于點N（如圖（3））．設△MBN的周長為p，在旋轉正方形OABC的過程中，p值是否有變化？請證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性質和∠GCE=45°，求出∠GCD+∠BCE=45°，得出∠ECG=∠FCG，再根據△EBC≌△FDC，然后證出△ECG≌△FCG，即可得出結論；
（2）①當α=2β時，（1）中的三角形的全等關系即可證明是成立的；
②根據（1）的證明．可以得到：AM=CN，MN=AB，據此即可證明△MNP的周長等于正方形邊長的2倍，據此即可求解．

解答：解：（1）∵DF=BE，∠FDC=∠EBC，BC=DC，
∴△EBC≌△FDC，
∴∠DCF=∠BCE，
∵∠GCE=45°，所以∠BCE+∠DCG=90°-45°=45°，
即∠DCG+∠DCF=45°，
于是有GC=GC，
∠ECG=∠FCG，
CF=CE，
于是△ECG≌△FCG，
故EG=GF，即GE=BE+GD．
（2）①α=2β，
延長AD到F點，使DF=BE，連接CF，可證△EBC≌△FDC，
則∠BCE+∠DCG=∠GCF，由α=2β可知∠ECG=∠GCF，
可證△ECG≌△FCG，
故EG=GF，即GE=BE+GD．

②根據（1）的證明．可以得到：AM=CN，MN=AB．
∴p=BN+MN+BM=2AB=2．

點評：本題主要考查了圖形的旋轉，以及正方形的性質，正確理解（1）中的證明以及結論是解題的關鍵．