Question

如圖（1），在正方形ABCD中，M為AB的中點，E為AB延長線上一點，MN⊥DM，且交∠CBE的平分線于點N．
（1）DM與MN相等嗎？試說明理由．
（2）若將上述條件“M為AB的中點”改為“M為AB上任意一點”，其余條件不變，如圖（2），則DM與MN相等嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）過N作NF⊥AE于F，MN交BC于H，要證DM=MN，可證△DAM≌△MFN．
（2）只需作AF=AM，其余證法與1同．

解答：解：（1）過N作NF⊥AE于F，MN交BC于H，

∵HB∥NF，MN⊥DM，
∴可得∠BMH=∠MDA，
∴△MBH∽△DAM，△MBH∽△MFN
∴

BH

MB

=

AM

DA

=

1

2

=

NF

MF

，
∴2NF=MF，
又∵NF=BF，
∴MB=BF=

1

2

DA，
由以上可得△DAM≌△MFN
即可得DM=MN；

（2）解：結論“DM=MN”仍成立．
證明：
在AD上截取AF'=AM，連接F'M．
∵DF'=AD-AF'，MB=AB-AM，AD=AB，AF'=AM，
∴DF'=MB，
∵∠F'DM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°，
∴∠F'DM=∠BMN，
∵AF′=AM，∠A=90°，
∴∠AF′M=∠AMF′=45°，
∴∠DF′M=135°，
∵BN平分∠CBE，∠CBE=90°，
∴∠NBE=

1

2

∠CBE=45°，
∴∠MBN=135°，
∴∠DF′M=∠MBN，
在△DF'M和△MBN中

∠F′DM=∠BMN DF′=BM ∠DF′M=∠MBN

，
∴△DF'M≌△MBN．
∴DM=MN．

點評：本題的解答在于熟練掌握相似三角形的比例關系以及全等三角形的證明，要證兩邊相等往往要轉變為證三角形的全等．