Question

【題目】下面是小蕓設計的“作三角形一邊上的高”的尺規作圖過程．

已知：△ABC．

求作：△ABC的邊BC上的高AD．

作法：①以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，

交直線BC于點M，N；

②分別以點M，N為圓心，以大于MN的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P；

③作直線AP交BC于點D，則線段AD即為所求△ABC的邊BC上的高．

根據小蕓設計的尺規作圖過程，

（1）使用直尺和圓規，補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

證明：∵AM＝　 　，MP＝　 　，

∴AP是線段MN的垂直平分線．（　 　）（填推理的依據）

∴AD⊥BC于D，即線段AD為△ABC的邊BC上的高．

Answer 1

【答案】(1)作圖見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）利用幾何語言畫出對應的幾何圖形；

（2）通過作圖得到AM=AN，MP=NP，則根據線段垂直平分線的性質定理的逆定理可判斷AP是線段MN的垂直平分線，從而得到AD⊥BC．

（1）補全的圖形如圖所示；

（2）∵AM=AN，MP=NP，∴AP是線段MN的垂直平分線（到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上）

∴AD⊥BC于D，即線段AD為△ABC的邊BC上的高．

故答案為：AN，NP，到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．