Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點M、N，點P在AB的延長線上，且∠CAB=2∠BCP．

（1）求證：直線CP是⊙O的切線；
（2）若BC=2 ，sin∠BCP= ，求⊙O的半徑及△ACP的周長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AN，

∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，

∵AC是⊙O的直徑，∴AN⊥BC，

∴∠CAN=∠BAN，BN=CN，

∵∠CAB=2∠BCP，

∴∠CAN=∠BCP．

∵∠CAN+∠ACN=90°，

∴∠BCP+∠ACN=90°，

∴CP⊥AC

∵OC是⊙O的半徑

∴CP是⊙O的切線

（2）解：∵∠ANC=90°，sin∠BCP= ，

∴ = ，

∴AC=5，

∴⊙O的半徑為

如圖，過點B作BD⊥AC于點D．

由（1）得BN=CN= BC= ，

在Rt△CAN中，AN= =2

在△CAN和△CBD中，

∠ANC=∠BDC=90°，∠ACN=∠BCD，

∴△CAN∽△CBD，

∴ = ，

∴BD=4．

在Rt△BCD中，CD= =2，

∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3，

∵BD∥CP，

∴ = ， =

∴CP= ，BP=

∴△APC的周長是AC+PC+AP=20．

【解析】（1）由等角對等邊得AB=AC，連接AN，由圓周角定理及等角三角形的三線合一得出∠CAN=∠BCP．根據直角三角形兩銳角互余及等量代換得出∠BCP+∠ACN=90°，得出結論；（2）根據銳角三角函數的定義，找到圓的半徑，在Rt△CAN中根據勾股定理得出AN，進而判斷出△CAN∽△CBD，根據相似三角形對應邊成比例得出BD的長度，在Rt△BCD中由勾股定理得出CD，再由平行線分線段成比例得出CP,BP的長度。
【考點精析】利用等腰三角形的性質和勾股定理的概念對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．