Question

如圖(1),在△ABC中,AB=BC,P為AB邊上一點,連接CP,以PA、PC為鄰邊作APCD，AC與PD相交于點E，已知∠ABC=∠AEP=(0°<<90°).

(1)求證: ∠EAP=∠EPA;

(2) APCD是否為矩形?請說明理由;

(3)如圖(2),F為BC中點,連接FP,將∠AEP繞點E順時針旋轉適當的角度,得到∠MEN(點M、N分別是∠MEN的兩邊與BA、FP延長線的交點).猜想線段EM與EN之間的數量關系，并證明你的結論.

 

Answer 1

【答案】

證明：(1)在△ABC和△AEP中,

 ∠ABC=∠AEP,∠BAC=∠EAP,

∠ACB=∠APE,

在△ABC中,AB=BC.∠ACB=∠BAC,

∠EPA=∠EAP,

(2) APCD是矩形.

   四邊形APCD是平行四邊形,

  AC=2EA,PD=2EP.

由(1)知, ∠EPA=∠EAP.

EA=EP，進而AC=PD

 APCD是矩形.

(3)EM=EN

 EA=EP,  ∠EPA=90° -

∠EAM=180°-∠EAP =180°-∠EPA= 180°-(90°-)=90°+

由(2)知, ∠CPB=90°,F是BC的中點,  FP=FB,

 ∠FPB=∠ABC=，

 ∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90° - +=90°+

 ∠EAM=∠EPN

∠AEP繞點E順時針旋轉適當的角度，得到∠MEN，

 ∠AEP-∠AEN =∠MEN-∠AEN,即∠MEA=∠NEP.

 △EAM≌△EPN,

 EM=EN.

【解析】（1）根據AB=BC可證∠CAB=∠ACB，則在△ABC與△AEP中，有兩個角對應相等，根據三角形內角和定理，即可證得；

（2）由（1）知∠EPA=∠EAP，則AC=DP，根據對角線相等的平行四邊形是矩形即可求證；

（3）可以證明△EAM≌△EPN，從而得到EM=EN．