Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系xoy中，拋物線y=（m﹣1）x2﹣（3m﹣4）x﹣3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸是經過（1，0）且與y軸平行的直線，點P是拋物線上的一點，點Q是y軸上一點；

（1）求拋物線的函數關系式；
（2）若以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標；
（3）若tan∠PCB= ，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當y=0時，（m﹣1）x2﹣（3m﹣4）x﹣3=0，

解得x1= ，x2=3，即A（ ，0）B（3，0），

由A，B關于x=1對稱，得

=﹣1，解得m=2，

即A（﹣1，0），

函數解析式為y=x2﹣2x﹣3；

（2）

解：由四邊形ABPQ是平行四邊形，得

PQ∥AB，PQ=AB=4，

當PQ=4，即x=4時，y=5，即P（4，5）；

當x=﹣4時，y=21，即P（﹣4，21），

綜上所述：四邊形ABPQ是平行四邊形P（4，5），（﹣4，21）；

（3）

解：如圖

，

過P作PQ⊥x軸于Q，交CB延長線于R，過P作PH⊥BC于H，

設P（m，m2﹣2m﹣3），

∵拋物線y=x2﹣4x+3與坐標軸交于A，B，C三點，

∴x=0，則y=﹣3；

y=0，則0=x2﹣4x+3，

解得：x1=﹣1，x2=3，

故A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），

設直線BC的解析式為：y=kx+b，

則 ，

解得： ，

故直線BC解析式：y=x﹣3，

∴R（m，m﹣3），PR=m2﹣2m﹣3﹣（m﹣3）=m2﹣3m，

∵OB=OC=3，

∴∠CBQ=135°，

∴∠HPR=45°，

∵CO=OB，

∴∠OCR=45°，

∴CR= OQ= m，

∴PH=RH=PR÷ = m（m﹣3），

又CR= OQ= m，

∴CH= m+ m（m﹣3）

= m（m+1）

由tan∠PCB= = = ，

解得：m=7，

則m2﹣2m﹣3=32，

故P（7，32）．

【解析】（1）根據自變量與函數值得對應關系，可得關于x的方程，根據解方程，可得A，B點坐標，根據函數值相等的點關于對稱軸對稱，可得m的值；（2）根據平行四邊形的對邊平行且相等，可得PQ的長，根據解方程，可得P點的橫坐標，根據自變量與函數值得對應關系，可得答案；（3）根據題意首先得出直線BC的解析式，進而利用PR的長結合tan∠PCB=2得出P點橫坐標，進而求出答案．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的圖象和二次函數的性質，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．