Question

【題目】如圖，直線L：交x軸與點(diǎn)A，交y軸與點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸正半軸上，且OC=2，點(diǎn)D在線段AC上，且∠CDB=∠ABC，過點(diǎn)C作BC的垂線，交BD的延長線與點(diǎn)E，并聯(lián)結(jié)AE

（1）求證：△CDB∽△CBA

（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)

（3）若點(diǎn)P是直線CE上的一動點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DP若△DEP和△ABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）E（-2，-2）；（3），.

【解析】

（1）直接由題目已知∠CDB=∠ABC和公共角∠BCA=∠BCA得出；

（2）先利用勾股定理，求出，由△CDB∽△CBA，得到，可求出CD的長度，找出D點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用B,D兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線BD的關(guān)系式為，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a，3a+4），根據(jù)△BCE是等腰直角三角形，利用勾股定理可得，化簡求值即可；

（3）根據(jù)題意和（1）、（2）中的結(jié)果，利用分類討論的方法可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）∵∠CDB=∠ABC，∠BCA=∠BCA，

∴△CDB∽△CBA

（2）由（1）可知△CDB∽△CBA，

∴ ,

∴，

∵直線L：交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），
∴在Rt△AOB中，，

∴，

又∵，

∴，

∴在Rt△OCB中，
，

根據(jù)，

∴，

∴

即：，，

設(shè)過點(diǎn)B（0，4），的直線解析式為，

∴，解之得： ，

即直線BD的解析式為，
∵點(diǎn)E在直線BD上，
∴設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a，3a+4），
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠BAO=∠BAC=45°，

∵△ABC∽△BDC，∠BAC=∠DBC，
∴∠DBC=45°，
∵BC⊥CE，
∴∠BCE=90°，
∴∠BEC=45°，
∴∠BEC=∠EBC，
∴BC=CE，

∵點(diǎn)B（0，4），點(diǎn)C（2，0），點(diǎn)E（a，3a+4），

∴

解得，a=-2或a=0（舍去），
當(dāng)a=-2時(shí)，3a+4=-2，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，-2），

（3）由（2）知，∠DEP=45°，∠BAC=45°，
當(dāng)∠EDP=∠ABC時(shí)，△DEP與△ABC相似，

則： ，

∵ ，AC=6，點(diǎn)D（，0），點(diǎn)E（-2，-2），

∴，

∴ ，

解得， ，

設(shè)過點(diǎn)E（-2，-2），C（2，0）的直線解析式為，

，解之得： ，

即直線EC的解析式為 ，

∵點(diǎn)P在直線EC上，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（c，），

∵點(diǎn)E（-2，-2），，

解得，c=-4（舍去）或c=0，
∴當(dāng)c=0時(shí)， ，

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-1）；
當(dāng)∠EPD=∠ABC時(shí)，△DEP與△ABC相似，
則，

∵ ，AC=6，，

∴，解得：，

∵直線EC的解析式為，點(diǎn)P在直線EC上，

∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（d，），

∵點(diǎn)E（-2，-2），，

∴，

解得： （舍去）或 ，

當(dāng)時(shí)，，

即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；
由上可得，當(dāng)△DEP與△ABC相似時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)是（0，-1）或

（，）．