Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且保持AD=CE．連接DE、DF、EF．
①求證：△DFE是等腰直角三角形；
②在此運動變化的過程中，四邊形CDFE的面積是否保持不變？試說明理由．
③求△CDE面積的最大值．

Answer 1

分析：①作常規輔助線連接CF，由SAS定理可證△CFE和△ADF全等，從而可證∠DFE=90°，DF=EF．所以△DEF是等腰直角三角形；
②由割補法可知四邊形CDFE的面積保持不變；
③△DEF是等腰直角三角形DE=

2

DF，當DF與BC垂直，即DF最小時，DE取最小值4

2

，△CDE最大的面積等于四邊形CDEF的面積減去△DEF的最小面積．

解答：解：①連接CF；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB；
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF；
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形．
②當D、E分別為AC、BC中點時，四邊形CDFE是正方形．
∵△ADF≌△CEF，
∴S_△CEF=S_△ADF
∴S_{四邊形CEFD}=S_△AFC．
③由于△DEF是等腰直角三角形，因此當DE最小時，DF也最小；
即當DF⊥AC時，DE最小，此時DF=

1

2

BC=4．
∴DE=

2

DF=4

2

；
當△CEF面積最大時，此時△DEF的面積最小．
此時S_△CEF=S_{四邊形CEFD}-S_△DEF=S_△AFC-S_△DEF=16-8=8．

點評：此題考查的知識點有等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質等知識點，綜合性強，難度較大，是一道難題．