Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，點M、N是AB上任意兩點，且∠MCN=45°，點T為AB的中點．以下結論：①AB=

2

AC；②CM²+TN²=NC²+MT²；③AM²+BN²=MN²；④S_△CAM+S_△CBN=S_△CMN．其中正確結論的序號是（　　）

• A、①②③④
• B、只有①②③
• C、只有①③④
• D、只有②④

Answer 1

分析：此題要根據等腰三角形的性質求解，由于△ABC是等腰三角形，顯然①的結論是成立的；②題中，可連接CT，利用勾股定理求證；③此題用通過構造全等三角形來求解，過C作∠DCN=∠BCN，且CD=CB，連接DN、DM，通過兩步全等來判斷結論是否正確；④分別表示出三個三角形的面積，然后判斷它們是否符合題目給出的等量關系即可．

解答：解：①∵△ABC是等腰三角形，∴AB=

2

AC，故①正確；
②連接CT；
由勾股定理得：CM²-MT²=CT²，NC²-NT²=CT²，
聯立兩式可得：CM²-MT²=NC²-NT²，即CM²+TN²=NC²+MT²；
故②正確；
③如圖，過C作∠NCD=∠BCN，且CD=CB=AC，連接DM、DN；
∵∠DCN=∠BCN，CD=BC，CN=CN，
∴△DCN≌△BCN，得BN=DN，∠NDC=∠B=45°；
∵∠MCN=45°，∠ACB=90°，
∴∠ACM=∠DCM=45°-∠BCN=45°-∠DCN，
又∵AC=DC，CM=CM，
∴△ACM≌△DCM，得DM=AM，∠MDC=∠A=45°；
∴∠MDN=45°+∠45°=90°，
在Rt△MDN中，由勾股定理得：DM²+DN²=MN²，即AM²+BN²=MN²，
故③正確；
④S_△ACM=

1

2

AM•CT，S_△BNC=

1

2

BN•CT，S_△MNC=

1

2

MN•CT，
∵AM+BN≠MN，∴S_△ACM+S_△BCN≠S_△MNC，
故④錯誤；
因此正確的結論是①②③，故選B．

點評：此題主要考查了等腰直角三角形的性質、勾股定理以及全等三角形的判定和性質，難度適中．