Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，的三個頂點在坐標軸上，，且，將沿著翻折到．

（1）求點的坐標；

（2）動點從點出發，沿軸以個單位秒的速度向終點運動，過點作直線垂直于軸，分別交直線、直線于點、，設線段的長為，點運動時間為秒，求與的關系式，并寫出的取值范圍．

(3如圖2在（2）的條件下，點為點關于軸的對稱點，點在直線上，是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形；若存在，求出值和點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（，6）；（2）y與x的關系式為：；（3）t=3，M（2，9）

【解析】

（1）根據點坐標求出OA、OB、OC，證明△BCD是等邊三角形，過點D作DH⊥y軸于H，根據折疊的性質證明△ABO≌△ADH，求出DH、AH即可得到點D的坐標；

（2）先求出直線AD與直線CD的解析式，再分直線PM在點D左側與右側分別求出y與x的解析式即可；

（3）根據以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形且F在直線PM上，確定點F在第一象限，根據AF=B求出t的值，即可確定點M的坐標.

（1）∵A（0,3），B(-,0)，

∴OA=3，OB=,

∴AB==2，

∵C(3，0)，

∴OC=3，

∴AC==6，BC=4，

∴，

∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，

∴∠ABC=60°，

∴∠ACB=30°，

由折疊得：∠ACD=∠ACB=30°，∠CAD=∠BAC=90°，

∴B、A、D三點共線，∠BCD=60°，

∴△BCD是等邊三角形，

過點D作DH⊥y軸于H，

由折疊得：AD=AB，

∵∠OAB=∠DAH，∠AHD=∠AOB=90°，

∴△ABO≌△ADH,

∴DH=OB=，AH=OA=3，

∴點D的坐標是（，6）；

（2）

∵A(0，3)，D(，6），∴直線AD的解析式為：y=x+3，

∵C（3,0），∴直線CD的解析式為：y=-x+9，

當直線PM在點D的左側時，此時，

MN=-x+9-（x+3）=-2x+6，

當直線PM在點D右側時，此時，

MN=x+3-(-x+9)=2x-6，

綜上，y與t的關系式為： ；

（3）∵點為點關于軸的對稱點，C（3,0），

∴（-3,0），

∴B=2，

∵以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形，且F在直線PM上，

∴點F在第一象限，且AF=B=2，AF∥B，

令直線CD的解析式y=-x+9中y=3時，得x=2，

∴N（2,3），

∴AN∥x軸，

∴點F與點N重合，

∴點M的橫坐標為2，

將x=2代入y=x+3中得y=9，

∴點M的坐標為（2，9），

∵點P的橫坐標是2，

∴t=.