Question

（本題滿分10分）如圖，在銳角△ABC中，AC是最短邊；以AC中點O為圓心，AC長為半徑作⊙O，交BC于E，過O作OD∥BC交⊙O于D，連結AE、AD、DC．
（1）求證：D是 弧AE 的中點；
（2）求證：∠DAO =∠B+∠BAD；
（3）若 ，且AC=4，求CF的長.
 

Answer 1

（本題滿分10分）
證明：（1）∵AC是⊙O的直徑
∴AE⊥BC   …………1分
∵OD∥BC
∴AE⊥OD    …………2分
∴D是的中點   …………3分
（2）方法一：
如圖，延長OD交AB于G，則OG∥BC  …4分
∴∠AGD=∠B
∵∠ADO=∠BAD+∠AGD  …………5分
又∵OA=OD
∴∠DAO=∠ADO
∴∠DAO=∠B+∠BAD   …………6分
方法二：
如圖，延長AD交BC于H  …4分
則∠ADO=∠AHC
∵∠AHC=∠B+∠BAD   …………5分
∴∠ADO=∠B+∠BAD
又∵OA=OD
∴∠DAO=∠B+∠BAD  …………6分
（3） ∵AO=OC   ∴
∵ ∴ …………7分
∵∠ACD=∠FCE    ∠ADC=∠FEC=90°
∴△ACD∽△FCE    …………………8分
∴  即:    …………9分
∴CF="2         " …………10分

略