Question

【題目】已知正方形ABCD，E為平面內任意一點，連結DE，將線段DE繞點D順時針旋轉90°得到DG，連結EC，AG．

（1）當點E在正方形ABCD內部時，
①依題意補全圖形；
②判斷AG與CE的數量關系與位置關系并寫出證明思路．
（2）當點B，D，G在一條直線時，若AD=4，DG= ，求CE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：①依題意補全圖形，如圖1所示，

②AG=CE，AG⊥CE．

證明思路如下：

由正方形ABCD，可得AD=CD，∠ADC=90°，

由DE繞著點D順時針旋轉90°得DG，

∴∠GDE=∠ADC=90°，GD=DE

∴∠GDA=∠EDC．

∵DG=DE，AD=CD，

∴△AGD≌△CED，

∴AG=CE．

延長CE分別交AG、AD于點F、H，

∵△AGD≌△CED，

∴∠GAD=∠ECD，

∵∠AHF=∠CHD，

∴∠AFH=∠HDC=90°

∴AG⊥CH

（2）

證明：當點G在線段BD的延長線上時，如圖3所示．

過G作GM⊥AD于M．

∵BD是正方形ABCD的對角線，

∴∠ADB=∠GDM=45°．

∵GM⊥AD，DG= ，

∴MD=MG=1

在Rt△AMG中，由勾股定理，得AG= =

∴CE=AG=

當點G在線段BD上時，如圖4所示．

過G作GM⊥AD于M．

∵BD是正方形ABCD的對角線，

∴∠ADG=45°

∵GM⊥AD，DG= ，

∴MD=MG=1

在Rt△AMG中，由勾股定理，得AG= = ，

∴CE=AG=

故CE的長為 或

【解析】（1）依題意補全圖形，如圖1所示，（2）由旋轉得到∠GDA=∠EDC，判斷出△AGD≌△CED，得出∠AFH=∠HDC=90°即可；（3）由正方形的線段得到MD=MG=1，再根據勾股定理計算即可．
【考點精析】本題主要考查了圖形的旋轉的相關知識點，需要掌握每一個點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．旋轉的方向、角度、旋轉中心是它的三要素才能正確解答此題．