Question

如圖△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，B C=5cm；△DEF中∠D=90°，∠E=45°，DE=3cm．現將△DEF的直角邊DF與△ABC的斜邊AB重合在一起，并將△DEF沿AB方向移動(如圖)．在移動過程中，D、F兩點始終在AB邊上(移動開始時點D與點A重合，一直移動至點F與點B重合為止)．

(1) 當△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，E、B的連線與AC平行.
(2) 在△DEF的移動過程中，是否存在某個位置，使得∠EBD=22.5°？如果存在，求出AD的長度；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)cm；（2）cm.

試題分析：（1）因為∠C=90°，∠A=30°，BC=5cm，所以AB=10cm，又因為∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=3cm，所以DE=4cm，連接EB，設BE∥AC，則可求證∠EBD=∠A=30°，故AD的長度可求；
（2）當∠EBD=22.5°時，利用三角形外角的性質求得∠BEF=22.5°，則∠EBD=∠BEF，故BF=EF=，AD=BD-BF-DF=（cm）；
試題解析：（1）cm時，BE∥AC．理由如下：
設EB∥AC，則∠EBD=∠A=30°，
∴在Rt△EBD中，cm
∴cm
∴cm時，BE∥AC；
(2)在△DEF的移動過程中，當AD=cm時，使得∠EBD=22.5°．理由如下：
假設∠EBD=22.5°．
∵在△DEF中，∠D=90°，∠DEF=45°，DE=3cm，
∴EF=cm，∠DEF=∠DFE=45°，DE=DF=3cm．
又∵∠DFE=∠FEB+∠FBE=45°，
∴∠EBD=∠BEF，
∴BF=EF=，
∴AD=BD-BF-DF=（cm）．
∴在△DEF的移動過程中，當AD=cm時，使得∠EBD=22.5°.
考點: 幾何變換綜合題