Question

【題目】如圖1，以AB為直徑作⊙O，點C是直徑AB上方半圓上的一點，連結AC，BC，過點C作∠ACB的平分線交⊙O于點D，過點D作AB的平行線交CB的延長線于點E．

（1）如圖1，連結AD，求證：∠ADC＝∠DEC．

（2）若⊙O的半徑為5，求CACE的最大值．

（3）如圖2，連結AE，設tan∠ABC＝x，tan∠AEC＝y，

①求y關于x的函數解析式；

②若＝，求y的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）100；（3）①y＝;②y＝或．

【解析】

（1）根據AB∥DE，可得∠ABC＝∠E，又由同圓中同弧所對圓周角相等可得∠ADC＝∠E；

（2）先找出△ADC∽△DEC，即可得到CD2＝CACE，再根據圓的半徑為5可知最大為CD=5，即CACE=100；

（3）①由（2）的相似可得y＝tan∠AEC＝，再過點D作DF⊥CE，設EF＝a，∴CF＝DF＝ax，CD＝ax，代入y即可得到y＝．

②根據=，得到＝9：4，即x：y＝9：4，代入y的表達式即可求出結果．

（1）證明：∵AB∥DE，

∴∠ABC＝∠E，

∵∠ADC＝∠ABC，

∴∠ADC＝∠E；

（2）解：∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠DCE，

又∠ADC＝∠E，

∴△ADC∽△DEC，

∴，

即CD2＝CACE，

又∵⊙O的半徑為5，

∴CACE＝CD2≤102＝100．

即CACE的最大值為100．

（3）解：①連接AD，

∵△ADC∽△DEC，，

∴y＝tan∠AEC＝，

過點D作DF⊥CE，不妨設EF＝a，

∵∠CED＝∠CBA，∠DCE＝45°，

∴CF＝DF＝ax，

∴CD＝ax，

∴y＝＝．．

②∵=，

∴=，

∴＝9：4，

即x：y＝9：4，

將y＝x代入y＝得，

=，

解得，x1＝2，x2＝，

當x＝2時，y＝，

當x＝時，y＝，，

∴y＝或．