Question

【題目】如圖，在四邊形中，的平分線交于點的平分線交于點，交于點，且．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；

（2）若，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）3．

【解析】

（1）證出∠GBC＋∠GCB＝90°，由角平分線的定義得出∠ABC＝2∠GBC，∠BCD＝2∠DCF，得出∠ABC＋∠BCD＝180°，證出AB∥CD，即可得出結論；

（2）由平行四邊形的性質得出AD∥BC，DC＝AB＝，AD＝BC＝6，由平行線的性質和角平分線定義證出∠AEB＝∠ABE，得出AE＝AB＝，同理：DF＝DC，得出AE＝DF，AF＝DE，證出2AB＝AD＋EF，即可得出結果．

（1）證明：∵BE⊥CF，

∴∠BGF＝90°，

∴∠GBC＋∠GCB＝90°，

∵∠ABC的平分線交AD于點E，∠BCD的平分線交AD于點F，

∴∠ABC＝2∠GBC，∠BCD＝2∠DCF，

∴∠ABC＋∠BCD＝180°，

∴AB∥CD，

∵AB＝CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，DC＝AB＝，AD＝BC＝6，

∴∠AEB＝∠CBE，

∵∠ABC的平分線交AD于點E，

∴∠ABE＝∠CBE，

∴∠AEB＝∠ABE，

∴AE＝AB＝，

同理：DF＝DC，

∴AE＝DF，

∴AF＝DE，

∵AE＋DF＝AD＋EF，

∴2AB＝AD＋EF，

∴EF＝2ABAD＝96＝3．