Question

【題目】在中，，以斜邊為底邊向外作等腰，連接．

（1）如圖1，若．①求證：分；

②若，求的長．

（2）如圖2，若，求的長．

Answer 1

【答案】（1）①見詳解,②7;（2）-

【解析】

（1）①過點P作PM⊥CA于點M，作PN⊥CB于點N，易證四邊形MCNP是矩形，利用已知條件再證明△APM≌△BPN，因為PM＝PN，所以CP平分∠ACB；

②由題意可證四邊形MCNP是正方形，

（2）如圖，以AC為邊作等邊△AEC，連接BE，過點E作EF⊥BC于F，由”SAS“可證△ABE≌△APC，可得BE＝CP＝5，由直角三角形的性質和勾股定理可求BC的長．

證明：（1）①如圖1，過點P作PM⊥CA于點M，作PN⊥CB于點N，

∴∠PMC＝∠PNC＝90°，

∵∠ACB＝90°

∴四邊形MCNP是矩形，

∴∠MPN＝90°，

∵PA＝PB，∠APB＝90°，

∴∠MPN∠APN＝∠APB∠APN，

∴∠APM＝∠NPB，

∵∠PMA＝∠PNB＝90°，

在△APM和△BPN中，

∴△APM≌△BPN（AAS），

∴PM＝PN，

∴CP平分∠ACB；

②∵四邊形MCNP是矩形，且PN＝PM，

∴四邊形MCNP是正方形，

∴PN＝CN＝PM＝CM

∴PC＝PN＝6，

∴PN＝6＝CN＝CM＝MP

∴AM＝CMAC＝1

∵△APM≌△BPN

∴AM＝BN，

∴BC＝CN＋BN＝6＋AM＝6＋1＝7．

（2）如圖，以AC為邊作等邊△AEC，連接BE，過點E作EF⊥BC于F，

∵△AEC是等邊三角形

∴AE＝AC＝EC＝5，∠EAC＝∠ACE＝60°，

∵△APB是等腰三角形，且∠APB＝60°

∴△APB是等邊三角形，

∴∠PAB＝60°＝∠EAC，AB＝AP，

∴∠EAB＝∠CAP，且AE＝AC，AB＝AP，

∴△ABE≌△APC（SAS）

∴BE＝CP＝5，

∵∠ACE＝60°，∠ACB＝90°，

∴∠ECF＝30°，

∴EF＝EC＝，FC＝EF＝，

∵BF＝，

∴BC＝BFCF＝-