Question

【題目】（本題滿分12分）已知，直線AP是過正方形ABCD頂點A的任一條直線（不過B、C、D三點），點B關于直線AP的對稱點為E，連結AE、BE、DE，直線DE交直線AP于點F．

（1）如圖1，直線AP與邊BC相交．

①若∠PAB=20°，則∠ADF= °，∠BEF= °；

②請用等式表示線段AB、DF、EF之間的數量關系，并說明理由；

（2）如圖2，直線AP在正方形ABCD的外部，且，，求線段AF的長．

Answer 1

【答案】（1）①65，45；②；（2）2．

【解析】試題分析：（1）①利用軸對稱的性質以及等腰三角形的性質得出即可；②連接BD，BF先依據翻折的性質證明△BEF為等腰直角三角形，從而得到△BFD為直角三角形，由勾股定理可得到BF、FD、BD之間的關系，然后由△ABD為等腰直角三角形，從而得打BD與AB之間的關系，故此可得到BF、FD、AB之間的關系

（2）連接BF、DB．先依據翻折的性質和等腰三角形的性質證明∠BFD=90°，然后在△BDF中，由勾股定理可求得BD的長，從而求得AB的長，然后在等腰直角三角形EFB中可求得FG=GB=8，然后再Rt△AGB中，由勾股定理可求得AG的長，由AF=FG-AG可求得AG的長．

試題解析：（1）①翻折的性質可知：∠PAB=∠PAE=20°，AE=AB．

∴∠AEB=∠ABE=×（180°-40°）=70°．

∵ABCD為正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°．

∴AE=AD，∠DAE=50°．

∴∠ADE=∠AED=×（180°-50°）=65°．

∴∠BEF=180°-70°-65°=45°．

②線段AB、DF、EF之間的數量關系是：BF2+DF2=2AB2．

理由：連接BD，BF．

∵由翻折的性質可知：BF=FE，

∴∠FBE=∠FEB=45°．

∴∠BFE=90°．

∴BF2+DF2=DB2．

∵BD=AB，

∴BD2=2AB2．

∴BF2+DF2=2AB2．

（2）如圖2所示：連接BF、DB．

由翻折的性質可知：AB=AE，∠1=∠2，EF=BF=8，EG=GB．

又∵AD=AB，

∴AE=AD．

∴∠1=∠3．

∴∠2=∠3．

∵∠4=∠5，

∴∠5+∠3=∠2+∠4=90°．

∴△FDB和△EFB均為直角三角形，

∴BD=．

∴AB=BD=10×=10．

∵在Rt△EFB中，EF=BF，

∴EB=EF=×8=16．

∴GF=EG=BG=8．

在Rt△ABG中，AG==6．

∴AF=FG-AG=8-6=2．