Question

如圖，⊙M過坐標原點O，分別交兩坐標軸于A（1，O），B（0，2）兩點，直線CD交x軸于點C（6，0），交y軸于點D（0，3），過點O作直線OF，分別交⊙M于點E，交直線CD于點F．
（1）求證：∠CDO=∠BAO；
（2）求證：OE•OF=OA•OC；
（3）若OE=，試求點F的坐標．

D

D

 

Answer 1

(1)證明見解析
證明見解析
F的坐標為：（2，2）或（，）．

試題分析：（1）由已知可得tan∠CDO=tan∠BAO所以∠CDO=∠BAO，
（2）連接AE，由圓周角相等則有∠AEO=∠ABO，由（1）則有∠AEO=∠OCD則有△OCF∽△OEA．再利用比例式即可證得．
（3）由（2）可求得OF的長度，因為點F要直線CD上，則可設F（x，y），則可得到關于x，y的方程組，解方程組即可得出點F的坐標
試題解析：（1）如圖：∵C（6，0），D（0，3），
∴tan∠CDO==2，
∵A（1，O），B（0，2），
cot∠BAO==2，
∴∠CDO=∠BAO，
（2）如圖，連接AE，

由（1）知∠CDO=∠BAO，
∴∠OCD=∠OBA，
∵∠OBA=∠OEA，
∴∠OCD=∠OEA，
∴△OCF∽△OEA，
∴
∴OE•OF=OA•OC；
（3）由（2）得OE•OF=OA•OC，
∵OA=1，0C=6，OE=，
∴OF=
設F（x，y）
∴x²+y²=8，
∵直線CD的函數式為：y=﹣x+3
∴組成的方程組為，
解得或
∴F的坐標為：（2，2）或（，）．